Dúvidas

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Mensagempor wendelrj » Seg 05 Out, 2009 22:03

Fala, professor! Estou com algumas dúvidas. O senhor poderia me dar uma luz?

Imagem

Fiz do seguinte modo,

Como ,
\frac{\partial v}{\partial t}= \frac{\partial v}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}
tem-se que
\frac{\partial v}{\partial t}=0,1m^3/s
e
v=\frac{1}{3}\cdot b\cdot h
=>
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot r \cdot h
e como r=10m e h=5m , temos
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac {1}{3} \cdot 2\pi \cdot 10 \cdot 5
dando
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac {100}{3} \cdot \pi
=>
0,1= \frac {100}{3} \cdot \pi \cdot \frac{\partial x}{\partial t}
, temos então que
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac {0,3}{100 \pi}


Sendo que no gabarito, a resposta é
\frac{0,9}{100 \pi}


O que estou fazendo de errado?

PS: Obrigado por ter ensinado como simbolizar as expressões aqui no fórum.Ficou muito mais fácil. Um abraço.
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Re: Dúvidas

Mensagempor wendelrj » Seg 05 Out, 2009 22:23

Outra Dúvida,professor. Estava resolvendo alucinadamente, os problemas de regra da cadeia , taxa relacionadas, quando me deparei com o teorema do valor médio. Entendi o teorema (pelo menos acho que entendi), mas ao passar pros exercícios, não consegui resolver quase nada. Como fazer os seguintes exercícios?

4.15 Apostol Ex 3: Definida a função f do modo seguinte:

f(x)=\frac{3-x^2}{2}
se
x\leq1
e
f(x)=\frac {1}{x}
se
x\geq 1


(b) Mostrar que f verifica as condições do teorema de Larange no intervalo [0,2] e determinar todos os pontos dados pelo teorema.
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Re: Dúvidas

Mensagempor wendelrj » Seg 05 Out, 2009 22:57

OUtro dia, conversando com o senhor na sala, você disse que essa era uma questão maneira de aplicações do TVM. Mas não consegui fazer...
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Teria como o senhor fazê-la?
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Re: Dúvidas

Mensagempor asoares » Ter 06 Out, 2009 02:39

O que está errado é que não existe variável x no problema. O correto seria
{dV\over dt}={dV\over dh}{dh\over dt},

e aí
V={1\over3}\pi r^2h.


Aí olhando a figura abaixo temos

rr.png
rr.png (21.66 KiB) Visualizado 4669 vezes


{r\over h}={10\over15}\Rightarrow r={2h\over3}.


Agora substitua r de volta na expressão para V, derive com relação a h e continue o cálculo que vai dar o resultado do livro.

wendelrj escreveu:Fala, professor! Estou com algumas dúvidas. O senhor poderia me dar uma luz?

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Fiz do seguinte modo,

Como ,
\frac{\partial v}{\partial t}= \frac{\partial v}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}
tem-se que
\frac{\partial v}{\partial t}=0,1m^3/s
e
v=\frac{1}{3}\cdot b\cdot h
=>
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot r \cdot h
e como r=10m e h=5m , temos
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac {1}{3} \cdot 2\pi \cdot 10 \cdot 5
dando
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac {100}{3} \cdot \pi
=>
0,1= \frac {100}{3} \cdot \pi \cdot \frac{\partial x}{\partial t}
, temos então que
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac {0,3}{100 \pi}


Sendo que no gabarito, a resposta é
\frac{0,9}{100 \pi}


O que estou fazendo de errado?

PS: Obrigado por ter ensinado como simbolizar as expressões aqui no fórum.Ficou muito mais fácil. Um abraço.
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Re: Dúvidas

Mensagempor asoares » Ter 06 Out, 2009 03:23

Mostrar que f verifica as condições do teorema:

  • Contínua em [0,2] ?

    O único ponto onde poderia não ser contínua é a "emenda" em x=1. Mas olhando pros limites laterais temos
    \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1}{3-x^2\over2}={3-1^2\over2}=1

    \lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1}{1\over x}={1\over1}=1

    portanto eles coincidem e a função é contínua.

  • Derivável em (0,2) ?

    Novamente o possível problema está somente em x=1. Temos que verificar se os limites laterais de
    {f(1+h)-f(1)\over h}
    quando h->0 coincidem. Na prática, basta calcular a inclinação da reta tangente de cada um dos lados e ver se bate. À esquerda temos
    f'(x)={-2x\over2}=-x\Rightarrow f'(1)=-1.


    À direita
    f'(x)=-{1\over x^2}\Rightarrow f'(1)=-{1\over1^2}=-1.


    Então as retas tangentes coincidem e portanto a função é derivável normalmente em x=1.

Agora encontremos os pontos que o teorema dá. Repare que embora o teorema garanta que existam valores médios, ele não nos ensina a calculá-los. Portanto teremos que fazer isso por conta própria.

O valor médio da função é
{f(2)-f(0)\over2-0}={1/2-3/2\over2}=-{1\over2}.
Agora vejamos onde a derivada tem esse valor. Na definição à esquerda de 1 temos
f'(x)=-x
e igualando ao valor médio temos
-x=-{1\over2}\Rightarrow x={1\over2}.

Na definição à direita
f'(x)=-{1\over x^2},
de modo que
-{1\over x^2}=-{1\over2}\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2},

Mas como menos raiz de 2 está fora do intervalo, descartamos esta solução. Ficamos então com
x={1\over2},\sqrt{2}.


wendelrj escreveu:Outra Dúvida,professor. Estava resolvendo alucinadamente, os problemas de regra da cadeia , taxa relacionadas, quando me deparei com o teorema do valor médio. Entendi o teorema (pelo menos acho que entendi), mas ao passar pros exercícios, não consegui resolver quase nada. Como fazer os seguintes exercícios?

4.15 Apostol Ex 3: Definida a função f do modo seguinte:

f(x)=\frac{3-x^2}{2}
se
x\leq1
e
f(x)=\frac {1}{x}
se
x\geq 1


(b) Mostrar que f verifica as condições do teorema de Larange no intervalo [0,2] e determinar todos os pontos dados pelo teorema.
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Re: Dúvidas

Mensagempor asoares » Ter 06 Out, 2009 05:13

Olhe a figura abaixo.

pagina.png
pagina.png (35.54 KiB) Visualizado 4666 vezes


L é o comprimento da dobra, que queremos achar o mínimo. Temos
L=\sqrt{x^2+y^2}.
Vamos colocar L em função só de x. Como
\alpha+\beta+90^0=180^0
(no lado esquerdo da figura), os dois triângulos retângulos menores são semelhantes. Segue que
{y\over6}={x\over w}\Rightarrow y={6x\over w}.


Por outro lado
x^2=w^2+(6-x)^2\Rightarrow w^2=12x-36

L=\sqrt{x^2+{36x^2\over12x-36}}=\sqrt{x^3\over x-3}.


Assim
{dL\over dx}={1\over2\sqrt{x^3/(x-3)}}\cdot{3x^2\cdot(x-3)-x^3\over x-3}={2x^3-9x^2\over2\sqrt{x^3/(x-3)}(x-3)^2},


igualando dL/dx a zero temos
2x^3-9x^2=0\Leftrightarrow x^2(2x-9)=0\Leftrightarrow x=0\quad\mbox{ou}\quad x={9\over2}.
Para x=9/2 temos
L=\sqrt{ {729\over8} \over \frac{9}{2}-3 }=\sqrt{243\over4}={9\over2}\sqrt{3}.


Já achamos o comprimento da dobra. Para achar o ângulo, pela figura o seno dele é igual a x/L, portanto ele é
\arcsin\left({\frac{9}{2}\over\frac{9}{2}\sqrt{3}}\right)=\arcsin{1\over\sqrt{3}}.


wendelrj escreveu:OUtro dia, conversando com o senhor na sala, você disse que essa era uma questão maneira de aplicações do TVM. Mas não consegui fazer...
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Re: Dúvidas

Mensagempor dominguesg » Ter 06 Out, 2009 12:11

Alguém fez a questão 13 da P1 de 2007?
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