Problema - Diferenciação

Problema - Diferenciação

Mensagempor abcd » Ter 06 Out, 2009 13:47

A temperatura em um ponto (x,y) é T(x,y), medida em graus celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por , , onde x e y são medidos em cm. A função temperatura satisfaz Tx(2,3) = 4 e Ty(2,3) = 3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto após três segundos?
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Re: Problema - Diferenciação

Mensagempor asoares » Ter 06 Out, 2009 18:27

Hmm, tem certeza que a coordenada x do caminho do inseto é essa? Está constante.
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Re: Problema - Diferenciação

Mensagempor abcd » Ter 06 Out, 2009 20:17

É verdade.
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Re: Problema - Diferenciação

Mensagempor asoares » Ter 13 Out, 2009 01:40

E aí, conseguiu com a função corrigida?
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Re: Problema - Diferenciação

Mensagempor abcd » Ter 13 Out, 2009 07:17

Eu já não conseguia com a função corrijida. :lol: Eu só copiei errado da apostila.
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Re: Problema - Diferenciação

Mensagempor asoares » Ter 13 Out, 2009 15:40

Primeiro, é óbvio que depois de 3 segundos a posição do inseto é o ponto
x=\sqrt{1+3}=2
y=2+3/3=3.


Para saber a taxa de aumento na temperatura na direção do caminho do inseto, devemos computar
\nabla T(2,3)\cdot v,
onde v é o vetor unitário tangente à trajetória do inseto no ponto (2,3).

\nabla T(2,3)=\left({\partial T\over\partial x}(2,3),{\partial T\over\partial x}(2,3)\right)=(4,3).

O vetor tangente à trajetória é
\left({\partial x\over\partial t},{\partial y\over\partial t}\right)=(1/(2\sqrt{1+t}), 2+1/3),

que em t=3 dá
(1/4,7/3).

Agora
v={(1/4,7/3)\over||(1/4,7/3)||}.
Agora é só fazer as contas.
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Re: Problema - Diferenciação

Mensagempor abcd » Qui 15 Out, 2009 02:22

Hmm não sabia que se tratava de um problema de gradiente. Essa matéria vem depois do exercício.
Eu entendi tudo, exceto como você descobriu o vetor tangente à trajetória do inseto.
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Re: Problema - Diferenciação

Mensagempor asoares » Sex 16 Out, 2009 02:39

Se chamarmos a posição do inseto após t segundos de P(t)=(x(t), y(t)), então o vetor tangente à trajetória é
{\partial P\over\partial t}(t)=\left({\partial x\over\partial t}(t),{\partial y\over\partial t}(t)\right).
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