Dúvida em Cálculo de Área

Dúvida em Cálculo de Área

Mensagempor dominguesg » Qua 02 Dez, 2009 11:55

Professor ... eu tava fazendo um exercício de cálculo de área que era assim:
"A é o conjunto do plano limitado pelas retas
x = -1, x = 2, y = 0
e pelo gráfico de
y = x^2 - 2x + 5
. Calcule a área:"
Eu estou fazendo assim:
A = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 5)dx = [x^3/3-2x^2/2 + 5x]_{-1}^{2} =
= (8/3 - 4 + 10) - (-1/3 - 1 - 5) = (8/3 + 6) - (-1/3 - 6) =
= 26/3 + 19/3 = 45/3 = 15

Só que no gabarito ta dizendo que a resposta é 21. O que esou fazendo errado?
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Re: Dúvida em Cálculo de Área

Mensagempor wendelrj » Qua 02 Dez, 2009 17:43

Cara, eu não sou o professor não...estou muito longe disso...
Mas posso te dar uma ajudinha. Seu erro, nesse caso, foi na integração.
A = \int_{-1}^{2} x^{2} - 2x + 5 = [\frac{x^{3}}{3}-2\frac{x^{2}}{2}+5x]_{-1}^{2} = [\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+5x]_{-1}^{2}


Ou seja, seu problema foi esquecer de dividir por 2 o x²conforme a fórmula de integração:
\int x^{\alpha } = \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}



Vlw, espero ter ajudado.
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Re: Dúvida em Cálculo de Área

Mensagempor wendelrj » Qua 02 Dez, 2009 18:01

Agora que te poupei tempo professor, teria como o senhor resolver umas questões pra mim e me poupar tempo e dor de cabeça?

Seguinte, não estou conseguindo calcular volume de sólidos obtidos pela rotação em torno do eixo x quando aparece alguma equação do círculo.

Por exemplo, não consegui calcular essas 4 questões aqui:

"Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de pares (x,y) tais que:

d)
2x^{2} + y^{2} \leq 1
y\geq 0


h)
0\leq y\leq x }
e
x^{2}+y^{2} \leq 2


i)
y> x^{2}
e
x^{2} + y^{2}\leq 2


j)
1\leq x^{2}+y^{2} \leq 4
e
y\geq 0


Se puder resolver alguma dessas e me dar o caminho para as demais eu já ficaria muito satisfeito. Vlw professor, abraços.
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Re: Dúvida em Cálculo de Área

Mensagempor asoares » Sex 04 Dez, 2009 17:06

dominguesg escreveu:Professor ... eu tava fazendo um exercício de cálculo de área que era assim:
"A é o conjunto do plano limitado pelas retas
x = -1, x = 2, y = 0
e pelo gráfico de
y = x^2 - 2x + 5
. Calcule a área:"
Eu estou fazendo assim:
A = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 5)dx = [x^3/3-2x^2/2 + 5x]_{-1}^{2} =
= (8/3 - 4 + 10) - (-1/3 - 1 - 5) = (8/3 + 6) - (-1/3 - 6) =
= 26/3 + 19/3 = 45/3 = 15

Só que no gabarito ta dizendo que a resposta é 21. O que esou fazendo errado?

Nada. O resultado é 15 mesmo.
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Re: Dúvida em Cálculo de Área

Mensagempor asoares » Ter 08 Dez, 2009 07:53

wendelrj escreveu:Agora que te poupei tempo professor, teria como o senhor resolver umas questões pra mim e me poupar tempo e dor de cabeça?

Seguinte, não estou conseguindo calcular volume de sólidos obtidos pela rotação em torno do eixo x quando aparece alguma equação do círculo.

Por exemplo, não consegui calcular essas 4 questões aqui:

"Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de pares (x,y) tais que:

d)
2x^{2} + y^{2} \leq 1
y\geq 0


h)
0\leq y\leq x }
e
x^{2}+y^{2} \leq 2



d) (uma vez que é não-negativo. Para encontrar o intervalo de integração, verifiquemos quando o radicando é zero, ou seja, para que valores de temos . Neste caso temos . A área fica
A=\pi\int_{-1/sqrt{2}}^{1/sqrt{2}}(\sqrt{1-2x^2})^2\,dx={2\sqrt{2}\pi\over3}.


h) Nestas questões é sempre bom fazer um esboço da região descrita. No presente caso temos a região destacada abaixo:
volume1.png
volume1.png (27.14 KiB) Visualizado 3971 vezes

onde a função que define a fronteira superior da região é a função
f(x)=\begin{cases}x,&\quad0\leq x\leq1\\\sqrt{2-x^2},&\quad1\leq x\leq\sqrt{2}\end{cases}.

Aplicando a fórmula temos
V=\pi\int_0^{\sqrt{2}}[f(x)]^2\,dx=\pi\left(\int_0^1x^2\,dx+\int_1^{\sqrt{2}}(2-x^2)\,dx\right)={4\pi\over3}(\sqrt{2}-1).
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Re: Dúvida em Cálculo de Área

Mensagempor asoares » Ter 08 Dez, 2009 08:06

wendelrj escreveu:i)
y> x^{2}
e
x^{2} + y^{2}\leq 2


j)
1\leq x^{2}+y^{2} \leq 4
e
y\geq 0



i) A região é a mostrada na figura abaixo:
volume2.png
volume2.png (42.56 KiB) Visualizado 3969 vezes

Calculando as interseções vemos que o intervalo no eixo é . Observe que o volume do sólido obtido pela rotação da região será o volume do sólido de rotação de menos o volume do sólido de rotação de . O volume será então
V=\pi\int_{-1}^1\left((\sqrt{2-x^2})^2-(x^2)^2\right)\,dx={44\pi\over15}.


j) Este é o volume exterior à esfera de centro 0 e raio 1 e interior à esfera de centro 0 e raio 2, portanto, .
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