Dúvidas

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Mensagempor wendelrj » Seg 07 Dez, 2009 10:11

Professor ando com uma dúvida, não sei se é boba, mas é uma tremenda dúvida para mim.

Por exemplo, nesta questão:

\int \sqrt{4-x^2}
Eu desenvolvo legal, mas quando chega na hora de voltar a variável de origem, no caso, x, eu tÔ me enrolando todo. Veja se estou fazendo certo, se não, o que eu estou fazendo de errado??

\int \sqrt{4-x^2}dx


x=\frac{1}{2}sent
e
dx=\frac{1}{2}costdt


\int \sqrt{4-x^2}=\int \sqrt\frac{1}/{1-4\frac{1}{4}sent^2}{}=\int cost\cdot cost dt

\int \frac{1}{2} cos2t + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sent\cdot cost + \frac{1}{2}t


Aqui é a parte que me enrolo todo...e é a parte da dúvida :o

Pois como,
x=\frac{1}{2}sent
e
dx=\frac{1}{2}costdt


t=arcsen2x
e
cost=2\sqrt{1-4x^2}
Não sei bem se cost é isso. Como faço pra calcular cost?

Então... do resultado, voltando a variável x, teria que dar...

\frac{1}{2} sent\cdot cost + \frac{1}{2}t = 2x\sqrt{1-4x^2} + \frac{1}{2} arcsen2x


O problema é que o gabarito dá
\frac{1}{4}\cdot[ arcsen2x + 2x\sqrt{1-4x^2}] + C


O que estou errando professor?
Editado pela última vez por wendelrj em Seg 07 Dez, 2009 10:30, num total de 1 vezes
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Re: Dúvidas

Mensagempor wendelrj » Seg 07 Dez, 2009 10:26

Estou tendo o mesmo problema com esta questão aqui:

\int \frac{1}{\sqrt{4+x^2}}dx


Fazendo
x=2tgu
e
dx=2sec^2u


Tem-se que:
\int \frac{2sec^2udu}{\sqrt{4+4tg^2u}}=\int \frac{2sec^2udu}{2secu}= \int secu = ln|secu + tgu| + C


Mais uma vez caio na minha dúvida ao trocar a variável...

sei que
u=arctg\frac{x}{2}
, mas como saber o que é secu??? para resolver a questão??

No gabarito, a resposta tá
ln ( x+\sqrt{4+x^2}) + C
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Re: Dúvidas

Mensagempor asoares » Ter 08 Dez, 2009 09:54

wendelrj escreveu:Professor ando com uma dúvida, não sei se é boba, mas é uma tremenda dúvida para mim.

Por exemplo, nesta questão:

\int \sqrt{4-x^2}
Eu desenvolvo legal, mas quando chega na hora de voltar a variável de origem, no caso, x, eu tÔ me enrolando todo. Veja se estou fazendo certo, se não, o que eu estou fazendo de errado??

\int \sqrt{4-x^2}dx


x=\frac{1}{2}sent
e
dx=\frac{1}{2}costdt


\int \sqrt{4-x^2}=\int \sqrt\frac{1}/{1-4\frac{1}{4}sent^2}{}=\int cost\cdot cost dt

\int \frac{1}{2} cos2t + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sent\cdot cost + \frac{1}{2}t,


Aqui é a parte que me enrolo todo...e é a parte da dúvida :o

Pois como,
x=\frac{1}{2}sent
e
dx=\frac{1}{2}costdt


t=arcsen2x
e
cost=2\sqrt{1-4x^2}
Não sei bem se cost é isso. Como faço pra calcular cost?

Então... do resultado, voltando a variável x, teria que dar...

\frac{1}{2} sent\cdot cost + \frac{1}{2}t = 2x\sqrt{1-4x^2} + \frac{1}{2} arcsen2x


O problema é que o gabarito dá
\frac{1}{4}\cdot[ arcsen2x + 2x\sqrt{1-4x^2}] + C


O que estou errando professor?


Bem, primeiramente você errou na substituição. Deveria ter sido ao invés de . Com a sua substituição incorreta, este seu trecho
\int \sqrt{4-x^2}=\int \sqrt\frac{1}/{1-4\frac{1}{4}sent^2}{}


está errado.

Se tivesse feito a substituição correta, chegaria na integral de , que dá . Daí para converter de volta para faz-se o seguinte:
x=2\sin t\Rightarrow\sin t={x\over2};\quad \cos t=\sqrt{1-\sin^2t}=\sqrt{1-\left({x\over2}\right)^2},

de modo que
\sin t\cos t={x\over2}\sqrt{1-{x^2\over4}}.
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Re: Dúvidas

Mensagempor dominguesg » Ter 08 Dez, 2009 14:15

Professor... outra dúvida boba!
Não consegui resolver isso:
\int e^{\sqrt{2x}} dx

Como eu faço!?
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Re: Dúvidas

Mensagempor asoares » Ter 08 Dez, 2009 14:26

wendelrj escreveu:Estou tendo o mesmo problema com esta questão aqui:

\int \frac{1}{\sqrt{4+x^2}}dx


Fazendo
x=2tgu
e
dx=2sec^2u


Tem-se que:
\int \frac{2sec^2udu}{\sqrt{4+4tg^2u}}=\int \frac{2sec^2udu}{2secu}= \int secu = ln|secu + tgu| + C


Mais uma vez caio na minha dúvida ao trocar a variável...

sei que
u=arctg\frac{x}{2}
, mas como saber o que é secu??? para resolver a questão??

No gabarito, a resposta tá
ln ( x+\sqrt{4+x^2}) + C

Novamente, identidades trigonométricas.
{x\over2}=\tan u\Rightarrow{x^2\over4}=\tan^2u\Rightarrow{x^2\over4}+1=\tan^2u+1=\sec^2u

\sec u=\sqrt{{x^2\over4}+1}={1\over2}\sqrt{x^2+4}.

Assim
\ln|\tan u+\sec u|+C=\ln|{1\over2}(x+\sqrt{x^2+4})|+C=\ln{1\over2}+\ln|x+\sqrt{x^2+4}|+C=\ln|x+\sqrt{x^2+4}|+C.
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Re: Dúvidas

Mensagempor asoares » Ter 08 Dez, 2009 14:33

dominguesg escreveu:Professor... outra dúvida boba!
Não consegui resolver isso:
\int e^{\sqrt{2x}} dx

Como eu faço!?

Substituição . A integral fica então
\int e^uu\,du,
que se faz por partes.
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Re: Dúvidas

Mensagempor dominguesg » Ter 08 Dez, 2009 19:56

Valeu professor! Consegui!
Agora essa aqui também não consegui fazer:
\int \frac {1} {x^2 - 4} dx

Tô tentando resolve por
\frac {A} {(x-a)} + \frac {B} {(x-b)}

x^2 - 4 = (x+2)(x-2)
\frac {A} {(x+2)} + \frac {B} {(x-2)} = 1
x=2:
4A = 1 \therefore A = 1/4
x=-2:
-4B = 1 \therefore B=-1/4
\int \frac {1} {x^2-4} dx = \int \frac {1/4} {(x+2)} dx + \int \frac {-1/4} {(x-2)} dx = (1/4)ln |x+2|- (1/4)ln |x-2| + K

Mas a resposta do exercício é:
\frac {1} {4} ln |\frac {x-2} {x+2}| + k

Onde estou errando?
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Re: Dúvidas

Mensagempor asoares » Qua 09 Dez, 2009 00:37

Aqui
dominguesg escreveu:
x=2: 
4A = 1 \therefore A = 1/4
x=-2:
-4B = 1 \therefore B=-1/4


A partir de
{A\over x+2}+{B\over x-2}=1

vem
A(x-2)+B(x+2)=1,

portanto você trocou os valores de e . O resultado no final dá
{1\over4}\ln|x-2|-{1\over4}\ln|x+2|+C={1\over4}(\ln|x-2|-\ln|x+2|)+C={1\over4}\ln{|x-2|\over|x+2|}+C.
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