Comentários sobre as aulas

2010/1

Comentários sobre as aulas

Mensagempor asoares » Seg 05 Abr, 2010 16:53

Limites
Fizemos na aula o seguinte exercício: provar que
\lim_{x\to1}x^2=1.
Ocorre que a forma que foi feito na turma de elétrica/eletrônica contém um pequeno erro (não se aplica à turma de automação/telecom/civil). Vejamos. Começamos fazendo
|x^2-1|=|x-1||x+1|.
Se queremos ter o lado esquerdo da igualdade menor que então
|x^2-1|=|x-1||x+1|<\varepsilon\Leftrightarrow |x-1|<{\varepsilon \over |x+1|}.
Neste ponto, observamos que precisamos controlar o valor de de modo a conseguir estimar . Para tanto, introduzimos uma restrição inicial ao valor de , . Com isso, temos
{3\over2}<x+1<{5\over2}\Leftrightarrow {3\over2}<|x+1|<{5\over2}.
Neste ponto ocorreu o erro. Havíamos utilizado a primeira desigualdade para concluir que
{1\over|x+1|}<{2\over3}\Rightarrow|x-1|<{\varepsilon\over|x+1|}<{2\over3}\varepsilon,
e daí havíamos concluído que . No entanto, não é possível partir desta última desigualdade e chegar em , o que é realmente necessário para provar a afirmação desejada. Isso porque partindo de temos
-\delta<x-1<\delta\Leftrightarrow 2-\delta<x+1<2+\delta\Leftrightarrow 2-\delta<|x+1|<2+\delta
(podemos supor sem problemas que ). Assim teríamos
|x^2-1|=|x-1||x+1|<\delta\cdot(2+\delta)={2\over3}\varepsilon(2+{2\over3}\varepsilon)=\varepsilon({4\over3}+{4\over9}\varepsilon),
e este último é sempre maior que ! ( é sempre maior que 1)

O correto, portanto, é usar a desigualdade e tomar como sendo o menor entre e 1/2 (para garantir que ficará entre 3/2 e 5/2). Assim, sempre que teremos
|x^2-1|=|x-1||x+1|<\delta\cdot{5\over2}={2\over5}\varepsilon\cdot{5\over2}=\varepsilon.


Continuidade das funções sen, cos
Provamos em aula inicialmente que a função sen é contínua em 0, e em seguida concluímos que cos também é contínua no 0 utilizando que . Para essa conclusão, é necessário estabelecer a continuidade da função raiz quadrada e também o fato de que a composição de funções contínuas preserva a continuidade, o que faremos nas aulas seguintes de forma independente da continuidade da função cos.

Mas também é possível verificar a continuidade de cos em 0 usando apenas fatos que já estabelecemos. Basta observar que (para verificar esta identidade, faça a expansão de usando a fórmula do cos de uma soma, e em seguida substitua ).
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