Exercício de limites (Apostol)

2010/1

Exercício de limites (Apostol)

Mensagempor gabrielrangel » Dom 09 Mai, 2010 12:28

O exercício 27 da primeira lista do cap. de funções contínuas (pág. 166 - em português) mostra a função sen (1/x) e pede para "provar que não existe nenhum valor real A tal que f(x) --> A quando x--> 0. Isto mostra que não é possível definir f(0) de modo que f seja contínua em 0." Eu pensei em usar alguma coisa parecida com o que se faz no exemplo 4 (sobre o lim de 1/x^2 quando x tende a zero). Mas sempre esbarro no problema da transformação da função seno. Aguardo alguma sugestão ou a resolução do exercício.
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Re: Exercício de limites (Apostol)

Mensagempor Ralp » Ter 11 Mai, 2010 13:50

Suponha existir A tal que
Então existe um intervalo E tal que para todo intervalo D tal que (como x→0, então D>0)
<sugiro uma correção nos códigos para que suporte letras gregas>
Tomando E=1, temos e pela propriedade arquimediana (seção I3.10 pág. 30 em português), temos

Considerando e , temos:
    , logo e portanto
    , logo e portanto

Como e são disjuntos, temos uma contradição.

Que a verdade seja dita, eu JAMAIS conseguiria fazer essa solução sem uma pesquisada antes :D
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Re: Exercício de limites (Apostol)

Mensagempor JoãoPaulo » Ter 11 Mai, 2010 23:26

Eu possuo uma maneira mais simples..
sendo f(x)= sen1/x
g(x)= 1/x e h(y)= sen y, sendo y=g(x), temos que f(x)=h[g(x)]
assim, basta provar que g(x) não é continua em 0

Para g(x) continua em 0, g(x)= lim 1/x quando x tende a 0, pela direita , x tenderá a 0 sem nunca assumir esse valor, tomando g(x) estritamente crencente a direita de 0 tendendo a infinito "positivo", a esquerda de zero o inverso é assumido, logo g(x) tende a infinito"negativo" tornando uma descontinuidade em 0, já que o limite g(x) em 0 a direita é diferente do limite de 0 a esquerda.

Não sei se meu modo é certo, gostaria muito que alguem viesse aqui e me mostrasse onde eu errrei. :D
muito obrigado
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Re: Exercício de limites (Apostol)

Mensagempor Ralp » Qui 13 Mai, 2010 15:38

Creio que esteja correto sim, pois se para x tendendo a zero os limites laterais são distintos, então a função é descontínua nesse ponto e portanto não existe f(0).
De fato ficou bem mais simples, é que no livro-texto esse exercício vem antes de funções compostas e por isso acabei deixando essa solução mesmo.
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Re: Exercício de limites (Apostol)

Mensagempor asoares » Ter 18 Mai, 2010 15:45

Que não é contínua no zero é automático, já que nem definida no zero está. Só que o fato de não ser contínua não significa que a composição não seja contínua.

Por exemplo, se tomarmos para todo , então a composição será sempre contínua por mais estranha que seja a função .

Em geral, a composição de duas funções pode ser contínua mesmo que nenhuma das componentes seja.
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