Valeu, professor. Eu refiz uns cálculos hoje de manhã e descobri o erro. Nós fizemos pelo seguinte método:
Primeiro encontramos o vértice oposto ao dado
)
usando a fórmula do ponto médio:
\frac{x - 3}{2} = 1 => x = 5
\frac{y-1}{2} = 2 => y = 5
Depois, descobrimos a reta que passa pelos pontos
)
e
)
, que é

Assim, já que esta reta corresponde a uma das diagonais do quadrado, se encontrássemos a reta normal à ela que passa pelo centro da circunferência, encontraríamos os pontos restantes.
A reta normal à esta pode ser encontrada utilizando uma definição vetorial.
(3, -4) \cdot (a, b) = 0 => 3a - 4b = 0 => 3a = 4b => a = 4 | b = 3
Porém, ainda falta encontrar o coeficiente linear, mas como sabemos que a reta passa pelo ponto
)
4x + 3y + c = 0 => 4(1) + 3(2) + c = 0 => 10 + c = 0 => c = -10
Pronto, agora tendo em mãos a equação da circunferência

e uma equação de reta

, podemos fazer um sistema linear. Sabe-se que a diagonal correspondente à equação desta reta passa por dentro da circunferência, logo a solução do sistema será dada por números reais.
y = \frac{10 - 4x}{3}
x^2 - 2x + (\frac{10-4x}{3})^2 - 4(\frac{10-4x}{3}) - 20 = 0
x^2 - 2x - 8 = 0
x1 = 4 | x2 = -2
Substituindo na equação da reta:

e
