Problema de Circunferência

[abcd]

Um quadrado está inscrito numa circunferência de centro (1, 2). Um dos seus vértices é o ponto (-3, -1). Determine os outros três vértices do quadrado.

Eu e um colega tentamos de tudo mas não conseguimos encontrar todos eles. Encontramos as seguintes equações:

Equação correspondente à diagonal do quadrado com tangente > 0:

3x-4y+5=0

Equação correspondente à diagonal do quadrado com tangente < 0:

4x+3y-10=0

Equação geral da circunferência:

x^2-2x+y^2-4y-20=0

[asoares]

Vou sugerir uma solução, vocês fazem o cálculo (e depois anuncie se deu certo).

O círculo tem raio 5, portanto sua equação é . Sendo o quadrado inscrito, sua diagonal mede 10 e portanto seu lado é .

Considere uma reta de inclinação m passando pelo ponto (-3, -1). Esta reta cortará o círculo em um outro ponto. Queremos determinar o valor de m para que este novo ponto seja um outro vértice do quadrado. A coordenada x pode ser encontrada isolando-se y na equação da reta e substituindo na equação do círculo, que deve ser resolvida. Em seguida, substituindo o valor de x na equação da reta encontraremos um valor y. Finalmente, montamos a equação da distância entre os vértices (repare que . A esta altura temos equações suficientes para encontrar m. Isto dará as coordenadas do novo vértice.

A partir daí é fácil encontrar os dois restantes.

[abcd]

Valeu, professor. Eu refiz uns cálculos hoje de manhã e descobri o erro. Nós fizemos pelo seguinte método:
Primeiro encontramos o vértice oposto ao dado usando a fórmula do ponto médio:

\frac{x - 3}{2} = 1 => x = 5

\frac{y-1}{2} = 2 => y = 5

Depois, descobrimos a reta que passa pelos pontos e , que é
Assim, já que esta reta corresponde a uma das diagonais do quadrado, se encontrássemos a reta normal à ela que passa pelo centro da circunferência, encontraríamos os pontos restantes.
A reta normal à esta pode ser encontrada utilizando uma definição vetorial.

(3, -4) \cdot (a, b) = 0 => 3a - 4b = 0 => 3a = 4b => a = 4 | b = 3

Porém, ainda falta encontrar o coeficiente linear, mas como sabemos que a reta passa pelo ponto

4x + 3y + c = 0 => 4(1) + 3(2) + c = 0 => 10 + c = 0 => c = -10

Pronto, agora tendo em mãos a equação da circunferência e uma equação de reta , podemos fazer um sistema linear. Sabe-se que a diagonal correspondente à equação desta reta passa por dentro da circunferência, logo a solução do sistema será dada por números reais.

y = \frac{10 - 4x}{3}

x^2 - 2x + (\frac{10-4x}{3})^2 - 4(\frac{10-4x}{3}) - 20 = 0

x^2 - 2x - 8 = 0

x1 = 4 | x2 = -2

Substituindo na equação da reta: e